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  • 《實際生活中的反比例函數(shù)》初中數(shù)學教案

    時間:2021-02-22 18:57:21 數(shù)學教案 我要投稿

    《實際生活中的反比例函數(shù)》初中數(shù)學教案

      三維目標

    《實際生活中的反比例函數(shù)》初中數(shù)學教案

      一、知識與技能

      1.能靈活列反比例函數(shù)表達式解決一些實際問題.

      2.能綜合利用物理杠桿知識、反比例函數(shù)的知識解決一些實際問題.

      二、過程與方法

      1.經(jīng)歷分析實際問題中變量之間的關系,建立反比例函數(shù)模型,進而解決問題.

      2. 體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系,增強應用意識,提高運用代數(shù)方法解決問題的能力.

      三、情感態(tài)度與價值觀

      1.積極參與交流,并積極發(fā)表意見.

      2.體驗反比例函數(shù)是有效地描述物理世界的重要手段,認識到數(shù)學是解決實際問題和進行交流的重要工具.

      教學重點

      掌握從物理問題中建構(gòu)反比例函數(shù)模型.

      教學難點

      從實際問題中尋找變量之間的關系,關鍵是充分運用所學知識分析物理問題,建立函數(shù)模型,教學時注意分析過程,滲透數(shù)形結(jié)合的思想.

      教具準備

      多媒體課件.

      教學過程

      一、創(chuàng)設問題情境,引入新課

      活動1

      問 屬:在物理學中,有很多量之間的變化是反比例函數(shù)的關系,因此,我們可以借助于反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些物理學中的問題,這也稱為跨學科應用.下面的例子就是其中之一.

      在某一電路中,保持電壓不變,電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例,當電阻R=5歐姆時,電流I=2安培.

      (1)求I與R之間的函數(shù)關系式;

      (2)當電流I=0.5時,求電阻R的值.

      設計意圖:

      運用反比例函數(shù)解決物理學中的一些相關問題,提高各學科相互之間的綜合應用能力.

      師生行為:

      可由學生獨立思考,領會反比例函數(shù)在物理學中的綜合應用.

      教師應給“學困生”一點物理學知識的引導.

      師:從題目中提供的信息看變量I與R之間的反比例函數(shù)關系,可設出其表達式,再由已知條件(I與R的一對對應值)得到字母系數(shù)k的值.

      生:(1)解:設I=kR ∵R=5,I=2,于是

      2=k5 ,所以k=10,∴I=10R .

      (2) 當I=0.5時,R=10I=100.5 =20(歐姆).

      師:很好!“給我一個支點,我可以把地球撬動.”這是哪一位科學家的名言?這里蘊涵著什么 樣的原理呢?

      生:這是古希臘科學家阿基米德的名言.

      師:是的.公元前3世紀,古希臘科學家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”: 若兩物體與支點的距離反比于其重量,則杠桿平衡,通俗一點可以描述為;

      阻力×阻力臂=動力×動力臂(如下圖)

      下面我們就來看一例子.

      二、講授新課

      活動2

      小偉欲用撬棍橇動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂不變,分別為1200牛頓和0.5米.

      (1)動力F與動力臂l有怎樣的函數(shù)關系?當動力臂為1.5米時,撬動石頭至少需要多大的力?

      (2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂至少要加長多少?

      設計意圖:

      物理學中的很多量之間的變化是反比例函數(shù)關系.因此,在這兒又一次借助反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些物理學中的問題,即跨學科綜合應用.

      師生行為:

      先由學生根據(jù)“杠桿定律”解決上述問題.

      教師可引導學生揭示“杠桿乎衡”與“反比例函數(shù)”之間的關系.

      教師在此活動中應重點關注:

      ①學生能否主動用“杠桿定律”中杠桿平衡的條件去理解實際問題,從而建立與反比例函數(shù)的關系;

     、趯W生能否面對困難,認真思考,尋找解題的途徑;

      ③學生能否積極主動地參與數(shù)學活動,對數(shù)學和物理有著濃厚的興趣.

      師:“撬動石頭”就意味著達到了“杠桿平衡”,因此可用“杠桿定律”來解決此問題.

      生:解:(1)根據(jù)“杠桿定律” 有

      Fl=1200×0.5.得F =600l

      當l=1.5時,F(xiàn)=6001.5 =400.

      因此,撬動石頭至少需要400牛頓的力.

      (2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,即不超過200牛,根據(jù)“杠桿定律”有

      Fl=600,

      l=600F .

      當F=400×12 =200時,

      l=600200 =3.

      3-1.5=1.5(米)

      因此,若想用力不超過400牛頓的一半,則動力臂至少要如長1.5米.

      生:也可用不等式來解,如下:

      Fl=600,F(xiàn)=600l .

      而F≤400×12 =200時.

      600l ≤200

      l≥3.

      所以l-1.5≥3-1.5=1.5.

      即若想用力不超過400牛頓的一半,則動力臂至少要加長1.5米.

      生:還可由函數(shù)圖象,利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求出.

      師:很棒!請同學們下去親自畫出圖象完成,現(xiàn)在請同學們思考下列問題:

      用反比例函數(shù)的知識解釋:在我們使用橇棍時,為什么動力臂越長越省力?

      生:因為阻力和阻力臂不變,設動力臂為l,動力為F,阻力×阻力臂=k(常數(shù)且k>0),所以根據(jù)“杠桿定理”得Fl=k,即F=kl (k為常數(shù)且k>0)

      根據(jù)反比例函數(shù)的.性質(zhì),當k>O時,在第一象限F隨l的增大而減小,即動力臂越長越省力.

      師:其實反比例函數(shù)在實際運用中非常廣泛.例如在解決經(jīng)濟預算問題中的應用.

      活動3

      問題:某地上年度電價為0.8元,年用電量為1億度,本年度計劃將電價調(diào)至0.55~0.75元之間,經(jīng)測算,若電價調(diào)至x元,則本年度新增用電量y(億度)與(x-0.4)元成反比例.又當x=0.65元時,y=0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關系式;(2)若每度電的成本價0.3元,電價調(diào)至0.6元,請你預算一下本年度電力部門的純收人多少?

      設計意圖:

      在生活中各部門,經(jīng)常遇到經(jīng)濟預算等問題,有時關系到因素之間是反比例函數(shù)關系,對于此類問題我們往往由題目提供的信息得到變量之間的函數(shù)關系式,進而用函數(shù)關系式解決一個具體問題.

      師生行為:

      由學生先獨立思考,然后小組內(nèi)討論完成.

      教師應給予“學困生”以一定的幫助.

      生:解:(1)∵y與x -0.4成反比例,

      ∴設y=kx-0.4 (k≠0).

      把x=0.65,y=0.8代入y=kx-0.4 ,得

      k0.65-0.4 =0.8.

      解得k=0.2,

      ∴y=0.2x-0.4=15x-2

      ∴y與x之間的函數(shù)關系為y=15x-2

      (2)根據(jù)題意,本年度電力部門的純收入為

      (0.6-0.3)(1+y)=0.3(1+15x-2 )=0.3(1+10.6×5-2 )=0.3×2=0.6(億元)

      答:本年度的純收人為0.6億元,

      師生共析:

      (1)由題目提供的信息知y與(x-0.4)之間是反比例函數(shù)關系,把x-0.4看成一個變量,于是可設出表達式,再由題目的條件x=0.65時,y=0.8得出字母系數(shù)的值;

      (2)純收入=總收入-總成本.

      三、鞏固提高

      活動4

      一定質(zhì)量的二氧化碳氣體,其體積y(m3)是密度ρ(kg/m3)的反比例函數(shù),請根據(jù)下圖中的已知條件求出當密度ρ=1.1 kg/m3時二氧化碳氣體的體積V的值.

      設計意圖:

      進一步體現(xiàn)物理和反比例函數(shù)的關系.

      師生行為

      由學生獨立完成,教師講評.

      師:若要求出ρ=1.1 kg/m3時,V的值,首先V和ρ的函數(shù)關系.

      生:V和ρ的反比例函數(shù)關系為:V=990ρ .

      生:當ρ=1.1kg/m3根據(jù)V=990ρ ,得

      V=990ρ =9901.1 =900(m3).

      所以當密度ρ=1. 1 kg/m3時二氧化碳氣體的氣體為900m3.

      四、課時小結(jié)

      活動5

      你對本節(jié)內(nèi)容有哪些認識?重點掌握利用函數(shù)關系解實際問題,首先列出函數(shù)關系式,利用待定系數(shù)法求出解 析式,再根據(jù)解析式解得.

      設計意圖:

      這種形式的小結(jié),激發(fā)了學生的主動參與意識,調(diào)動了學生的學習興趣,為每一位學生都創(chuàng)造了在數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗機會,并為程度不同的學生提供了充分展示自己的機會,尊重學生的個體差異,滿足多樣化的學習需要,從而使小結(jié)不流于形式而具有實效性.

      師生行為:

      學生可分小組活動,在小組內(nèi)交流收獲, 然后由小組代表在全班交流.

      教師組織學生小結(jié).

      反比例函數(shù)與現(xiàn)實生活聯(lián)系非常緊密,特別是為討論物理中的一些量之間的關系打下了良好的基礎.用數(shù)學模型的解釋物理量之間的關系淺顯易懂,同時不僅要注意跨學科間的綜合,而本學科知識間的整合也尤為重要,例如方程、不等式、函數(shù)之間的不可分割的關系.

      板書設計

      17.2 實際問題與反比例函數(shù)(三)

      1.

      2.用反比例函數(shù)的知識解釋:在我們使 用撬棍時,為什么動 力臂越長越省力?

      設阻力為F1,阻力臂長為l1,所以F1×l1=k(k為常數(shù)且k>0).動力和動力臂分別為F,l.則根據(jù)杠桿定理,

      Fl=k 即F=kl (k>0且k為常數(shù)).

      由此可知F是l的反比例函數(shù),并且當k>0時,F(xiàn)隨l的增大而減。

      活動與探究

      學校準備在校園內(nèi)修建一個矩形的綠化帶,矩形的面積為定值,它的一邊y與另一邊x之間的函數(shù)關系式如下圖所示.

      (1)綠化帶面積是多少?你能寫出這一函數(shù)表達式嗎?

      (2)完成下表,并回答問題:如果該綠化帶的長不得超過40m,那么它的寬應控制在什么范圍內(nèi)?

      x(m) 10 20 30 40

      y(m)

      過程:點A(40,10)在反比例函數(shù)圖象上說明點A的橫縱坐標滿足反比例函數(shù)表達式,代入可求得反比例函數(shù)k的值.

      結(jié)果:(1)綠化帶面積為10×40=400(m2)

      設該反比例函數(shù)的表達式為y=kx ,

      ∵圖象經(jīng)過點A(40,10)把x=40,y=10代入,得10=k40 ,解得,k=400.

      ∴函數(shù)表達式為y=400x .

      (2)把x=10,20,30,40代入表達式中,求得y分別為40,20,403 ,10.從圖中可以看出。若長不超過40m,則它的寬應大于等于10m。

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