高中數(shù)學聯(lián)賽最�？嫉闹�識點

　　在日常過程學習中，相信大家一定都接觸過知識點吧！知識點就是學習的重點。還在苦惱沒有知識點總結(jié)嗎？以下是小編幫大家整理的高中數(shù)學聯(lián)賽最�？嫉闹�識點，希望能夠幫助到大家。

　　知識點1：

　　高中數(shù)學聯(lián)賽的�？脊�式

　　初等數(shù)論中的歐拉定理

　　定理內(nèi)容

　　在數(shù)論中，歐拉定理(也稱費馬-歐拉定理)是一個關(guān)于同余的性質(zhì)。歐拉定理表明，若n,a為正整數(shù)，且n,a互素，(a,n) = 1，則

　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

　　證明

　　首先證明下面這個命題：

　　對于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且與n互素的數(shù)，即n的一個化簡剩余系，或稱簡系，或稱縮系)，考慮集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)}

　　則S = Zn

　　1) 由于a,n互質(zhì)，xi也與n互質(zhì)，則a*xi也一定于n互質(zhì)，因此

　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一個元素

　　2) 對于Zn中兩個元素xi和xj，如果xi ≠ xj

　　則a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，這個由a、n互質(zhì)和消去律可以得出。

　　所以，很明顯，S=Zn

　　既然這樣，那么

　　(a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n))(mod n)

　　= (a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n))(mod n)

　　= (x1 × x2 × ... × xφ(n))(mod n)

　　考慮上面等式左邊和右邊

　　左邊等于(a*(x1 × x2 × ... × xφ(n))) (mod n)

　　右邊等于x1 × x2 × ... × xφ(n))(mod n)

　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互質(zhì)

　　根據(jù)消去律，可以從等式兩邊約去，就得到：

　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

　　推論：對于互質(zhì)的數(shù)a、n，滿足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)

　　費馬定理:

　　a是不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)，則有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

　　證明這個定理非常簡單，由于φ(p) = p-1，代入歐拉定理即可證明。

　　同樣有推論：對于不能被質(zhì)數(shù)p整除的正整數(shù)a，有a^p ≡ a (mod p)

　　平面幾何里的歐拉定理

　　定理內(nèi)容

　　設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d^2=R^2-2Rr.

　　證明

　　O、I分別為⊿ABC的外心與內(nèi)心.

　　連AI并延長交⊙O于點D，由AI平分BAC，故D為弧BC的中點.

　　連DO并延長交⊙O于E，則DE為與BC垂直的⊙O的直徑.

　　由圓冪定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直線OI與⊙O交于兩點，即可用證明)

　　但DB=DI(可連BI，證明DBI=DIB得)，

　　故只需證2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可.

　　拓撲學里的歐拉公式

　　V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù),X(P)是多面體P的歐拉示性數(shù)。 如果P可以同胚于一個球面(可以通俗地理解為能吹脹成一個球面)，那么X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么X(P)=2-2h。

　　X(P)叫做P的拓撲不變量，是拓撲學研究的范圍。

　　V+F-E=2的證明

　　方法1：(利用幾何畫板)

　　逐步減少多面體的棱數(shù)，分析V+F-E

　　先以簡單的四面體ABCD為例分析證法。

　　去掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形，四面體頂點數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒有變。因此，要研究V、E和F關(guān)系，只需去掉一個面變?yōu)槠矫鎴D形，證V+F1-E=1

　　(1)去掉一條棱，就減少一個面，V+F1-E不變。依次去掉所有的面，變?yōu)椤皹渲π巍薄?/p>

　　(2)從剩下的樹枝形中，每去掉一條棱，就減少一個頂點，V+F1-E不變，直至只剩下一條棱。

　　以上過程V+F1-E不變，V+F1-E=1，所以加上去掉的一個面，V+F-E =2。

　　對任意的簡單多面體，運用這樣的方法，都是只剩下一條線段。因此公式對任意簡單多面體都是正確的。

　　方法2：計算多面體各面內(nèi)角和

　　設(shè)多面體頂點數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E。剪掉一個面，使它變?yōu)槠矫鎴D形(拉開圖),求所有面內(nèi)角總和Σα

　　一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和。

　　設(shè)有F個面，各面的邊數(shù)為n1,n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：

　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度]

　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度

　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 (1)

　　另一方面，在拉開圖中利用頂點求內(nèi)角總和。

　　設(shè)剪去的一個面為n邊形，其內(nèi)角和為(n-2)·180角，則所有V個頂點中，有n個頂點在邊上，V-n個頂點在中間。中間V-n個頂點處的內(nèi)角和為(V-n)·360度，邊上的n個頂點處的內(nèi)角和(n-2)·180度。

　　所以，多面體各面的內(nèi)角總和：

　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度

　　=(V-2)·360度(2)

　　由(1)(2)得： (E-F) ·360度=(V-2)·360度

　　所以 V+F-E=2.

　　方法3 用拓樸學方法證明歐拉公式

　　圖

　　嘗試一下用拓樸學方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點數(shù)的歐拉公式。

　　歐拉公式：對于任意多面體(即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體)，假設(shè)F，E和V分別表示面，棱(或邊)，角(或頂)的個數(shù)，那末

　　F-E+V=2。

　　證明 如圖(圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的)：

　　(1)把多面體(圖中①)看成表面是薄橡皮的中空立體。

　　(2)去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個平面圖形的(簡單)多邊形、邊和頂點的個數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

　　(3)對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

　　(4)如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。

　　(5)如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。

　　(6)這樣繼續(xù)進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

　　(7)因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。

　　(8)如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。

　　即F′-E′+V′=1

　　成立，于是歐拉公式：

　　F-E+V=2

　　得證。

　　復變函數(shù)論里的歐拉公式

　　定理內(nèi)容

　　e^ix=cosx+isinx

　　e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位。

　　它將三角函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位。 將公式里的x換成-x，得到：

　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用兩式相加減的方法得到：

　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.

　　這兩個也叫做歐拉公式。

　　“上帝創(chuàng)造的公式”

　　將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：

　　e^i∏+1=0.

　　這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學里最令人著迷的一個公式，它將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)學聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率∏，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。

　　歐拉定理的運用方法

　　(1)分式：

　　a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)

　　當r=0,1時式子的值為0

　　當r=2時值為1

　　當r=3時值為a+b+c

　　(2)復數(shù)

　　由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：

　　sinθ=(e^iθ-e^-iθ)/2i

　　cosθ=(e^iθ+e^-iθ)/2

　　(3)三角形

　　設(shè)R為三角形外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外心到內(nèi)心的距離，則：

　　d^2=R^2-2Rr

　　(4)多面體

　　設(shè)v為頂點數(shù)，e為棱數(shù)，f是面數(shù)，則

　　v-e+f=2-2p

　　p為歐拉示性數(shù)，例如

　　p=0 的多面體叫第零類多面體

　　p=1 的多面體叫第一類多面體

　　(5) 多邊形

　　設(shè)一個二維幾何圖形的頂點數(shù)為V，劃分區(qū)域數(shù)為Ar，一筆畫筆數(shù)為B,則有：

　　V+Ar-B=1

　　(如：矩形加上兩條對角線所組成的圖形，V=5,Ar=4,B=8)

　　(6). 歐拉定理

　　在同一個三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九點圓圓心Nine-point-center、垂心Orthocenter共線。 其實歐拉公式是有很多的，上面僅是幾個常用的。

　　使用歐拉定理計算足球五邊形和六邊形數(shù)

　　問：足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型?

　　答：足球是多面體，滿足歐拉公式F-E+V=2，其中F,E,V分別表示面,棱,頂點的個數(shù)

　　設(shè)足球表面正五邊形(黑皮子)和正六邊形(白皮子)的面各有x個和y個，那么

　　面數(shù)F=x+y

　　棱數(shù)E=(5x+6y)/2(每條棱由兩塊皮子共用)

　　頂點數(shù)V=(5x+6y)/3(每個頂點由三塊皮子共用)

　　由歐拉公式，x+y-(5x+6y)/2+(5x+6y)/3=2，

　　解得x=12。所以，共有12塊黑皮子

　　所以，黑皮子一共有12×5=60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的

　　對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。

　　所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的

　　那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20

　　所以共有20塊白皮子

　　(或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接;每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接

　　所以，五邊形的個數(shù)x=3y/5。

　　之前求得x=12，所以y=20)

　　【同余理論中的

　　設(shè)a,m∈N,(a,m)=1,則a^(f(m))≡1(mod m)

　　(注:f(m)指模m的簡系個數(shù))

　　十三、孫子定理

　　今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余三 ，七七數(shù)之余二，問物幾何?”

　　十四、組合

　　圓排列，有重復元素的排列與組合，組合恒等式; 組合計數(shù)，組合幾何;

　　抽屜原理;

　　容斥原理;

　　極端原理;

　　圖論問題;

　　集合的劃分;

　　覆蓋;

　　平面凸集、凸包及應(yīng)用。

　　知識點2：

　　第一章三角函數(shù)

　　1.1任意角和弧度制

　　正角、負角、零角正角、負角、零角

　　象限角、軸線角象限角、軸線角

　　終邊相同的角終邊相同的角

　　弧度制、弧度與角度的互化弧度制、弧度與角度的互化

　　1.2任意角的三角函數(shù)

　　任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)

　　三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）

　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

　　1.3三角函數(shù)的誘導公式

　　三角函數(shù)的誘導公式三角函數(shù)的誘導公式

　　1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

　　正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）

　　正切、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）正切、余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）

　　1.5函數(shù)y=Asin(ωxφ)的圖象

　　函數(shù)y=Asin（ωxφ）的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=Asin（wx φ）的圖象與性質(zhì)

　　1.6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

　　第二章平面向量

　　2.1平面向量的實際背景及基本概念

　　向量的概念及幾何表示向量的概念及幾何表示

　　零向量與單位向量零向量與單位向量

　　相等向量與共線向量的定義相等向量與共線向量的定義

　　2.2平面向量的線性運算

　　向量的加、減法運算及幾何意義向量的加、減法運算及幾何意義

　　向量數(shù)乘運算及幾何意義向量數(shù)乘運算及幾何意義

　　向量的線性運算及坐標表示向量的線性運算及坐標表示

　　2.3平面向量的基本定理及坐標表示

　　平面向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理及坐標表示

　　向量共線的充要條件及坐標表示向量共線的充要條件及坐標表示

　　2.4平面向量的數(shù)量積

　　向量數(shù)量積的含義及幾何意義向量數(shù)量積的含義及幾何意義

　　向量數(shù)量積的運算向量數(shù)量積的運算

　　用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系用數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關(guān)系

　　用坐標表示向量的數(shù)量積用坐標表示向量的數(shù)量積

　　向量模的計算向量模的計算

　　用數(shù)量積表示兩個向量的夾角用數(shù)量積表示兩個向量的夾角

　　2.5平面向量應(yīng)用舉例

　　平面向量的應(yīng)用平面向量的應(yīng)用

　　第三章三角恒等變換

　　3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

　　兩角和與差的三角函數(shù)及三角恒等變換兩角和與差的三角函數(shù)及三角恒等變換

　　3.2簡單的三角恒等變換

　　兩角和與差的三角函數(shù)及三角恒等變換

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