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高中數(shù)學知識點：函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系
在平日的學習中，說到知識點，大家是不是都習慣性的重視？知識點是知識中的最小單位，最具體的內(nèi)容，有時候也叫“考點”。哪些知識點能夠真正幫助到我們呢？以下是小編為大家整理的高中數(shù)學知識點：函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系，歡迎閱讀與收藏。
極值的定義：
�。�1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）
�。�2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）>f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值=f（x0），x0是極小值點。
極值的性質(zhì)：
�。�1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最��；
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；
�。�3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；
�。�4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點。
求函數(shù)f（x）的極值的步驟：
�。�1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′（x）；
�。�2）求方程f′（x）=0的根；
�。�3）用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，則f（x）在這個根處無極值。
函數(shù)求極值的方法總結(jié)：
一、利用二次方程的判別式求極值
在求某一類分式函數(shù)的極值時，若其分子或分母是關(guān)于x的二次式，可將其變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)x在實數(shù)范圍內(nèi)有解，由判別式求的。
例1、求函數(shù)y=求函數(shù)極值的若干方法的極值。
解：將原函變形為關(guān)于x的二次方程
�。▂-1）x求函數(shù)極值的若干方法-2yx-3y=0
∵x∈R，且x≠3，x≠-1，
∴上方程在實數(shù)范圍內(nèi)一定有解。
△= （-2y）求函數(shù)極值的若干方法 -4 （-3y）（y-1）= 4y（4y-3）≥0
解之得 y≤0 或 y≥ 求函數(shù)極值的若干方法
這里雖然y無最大（�。┲�，但對應于y=0和y=求函數(shù)極值的若干方法的x分別為x=0和x=-3，
所以當x=0時，y有極大值0，當x=-3時，y有極小值，求函數(shù)極值的若干方法。
例2、求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法的值域。
解：將原函數(shù)變形得：y+yx 求函數(shù)極值的若干方法 =2x
∵x∈R，∴△= 4-4y 求函數(shù)極值的若干方法 ≥0，解之得：-1≤y≤1
∴函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 值域為[-1，1]
由上面兩例可以看出，用二次方程的判別式求函數(shù)的極值時，實際上就是將y看作x的系數(shù)，利用函數(shù)的定義域非空，即方程有解，將問題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式。但要注意的是：在變型過程中，可能會將x的取值范圍擴大，但所求函數(shù)的極值一定在不等式的解集內(nèi)，此時，要注意檢驗，即招2出y取極值時的x是否有意義，若無意義必須舍去，再重新考慮其極值。
二、利用倒數(shù)關(guān)系求極值
對于有些分式函數(shù)，當其分子不含變量時，可由分母的極值來求整個函數(shù)的極值。
例3、求函數(shù)y=2- 求函數(shù)極值的若干方法 的最小值。
解：∵x 求函數(shù)極值的若干方法 -2x+6 = （x-1） 求函數(shù)極值的若干方法 +5＞0
∴函數(shù)的定義域為一切實數(shù)，又由x求函數(shù)極值的若干方法 -2x+6=（x-1） 求函數(shù)極值的若干方法 +5 知
當x=1時，求函數(shù)極值的若干方法 取最小值 求函數(shù)極值的若干方法 ，
∴ 求函數(shù)極值的若干方法 取最大值 求函數(shù)極值的若干方法 ，
此時 y=2- 求函數(shù)極值的若干方法 取最小值 2- 求函數(shù)極值的若干方法 ，
即 當x=1時，有y的最小值是 2- 求函數(shù)極值的若干方法 。
三、利用重要不等式求極值
對于一類各項積為定值，且每一項的符號相等的函數(shù)極值，可考慮用重要不等式解決。
例4、求函數(shù)y=4x+ 求函數(shù)極值的若干方法 的極值。
解：顯然函數(shù)的定義域為不等于零的一切實數(shù)。
（1） 當x＞0時，y = 4x+ 求函數(shù)極值的若干方法 ≥2 求函數(shù)極值的若干方法 =2 求函數(shù)極值的若干方法 =12
∴當4x = 求函數(shù)極值的若干方法 時，即x = 求函數(shù)極值的若干方法 時，y有極小值12。
（2）當x＜0時，令x = -t，則t＞0。 y = 4x+9/x = - （4t+ 求函數(shù)極值的若干方法 ）≤-12
∴當x = 求函數(shù)極值的若干方法 時，y有極大值-12 。
在利用重要不等式解題時，一定要注意必須要求每一項均為正數(shù)，若均為負數(shù)時，可提取一個負號，使括號內(nèi)每一項仍為正。上題中若只考慮第一種情況，就不完全了。
例5、已知l＜0，m＜0，求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 在（0，+∞）上的最大值。
分析：雖然x 求函數(shù)極值的若干方法 ·8x· 求函數(shù)極值的若干方法 =2 求函數(shù)極值的若干方法 為常數(shù)，但由x 求函數(shù)極值的若干方法 =8x= 求函數(shù)極值的若干方法 解不出實數(shù)x，即無實數(shù)解。故由y≥3 求函數(shù)極值的若干方法 =3·8=24得出y的最小值為24的結(jié)論是錯誤的，但如能把8x、64/x 求函數(shù)極值的若干方法 各分成相等的m項和n項，設(shè)法定出m、n、x，然后再求出y的最小值就行了。
解：設(shè)y=x 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 +……+ 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + 求函數(shù)極值的若干方法 + ……+ 求函數(shù)極值的若干方法 ，
�。ㄆ渲� 求函數(shù)極值的若干方法 有m項，求函數(shù)極值的若干方法 有n項）。
即m= 求函數(shù)極值的若干方法 ，n= 求函數(shù)極值的若干方法 時（由x 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法 ，x 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法 得），y有最小值，
由2+ 求函數(shù)極值的若干方法 =3· 求函數(shù)極值的若干方法 （x 求函數(shù)極值的若干方法 ·x 求函數(shù)極值的若干方法 =x 求函數(shù)極值的若干方法 ）得x 求函數(shù)極值的若干方法 +4x=96，解此方程的唯一正數(shù)解x=2，
此時m = 4，n = 2當時，y的最小值為4+16+8=28（代回去求得）
y≥7 求函數(shù)極值的若干方法 = 7· 求函數(shù)極值的若干方法 = 7·4=28
四、利用換元法求極值
有些無理函數(shù)，往往用以上方法無法求出極值，此時可試用換元法求之。
例6、求函數(shù) y= 求函數(shù)極值的若干方法 -x 在區(qū)間[0，1]上的最大值。
解：設(shè) 求函數(shù)極值的若干方法 = t，則0≤t≤1，且x = t 求函數(shù)極值的若干方法
∴當t=求函數(shù)極值的若干方法 即x= 求函數(shù)極值的若干方法 時，y取最大值 求函數(shù)極值的若干方法。
這里利用了換元法將無理式變形為二次求解，它是求無理函數(shù)極值的常用方法，特別是對形如 y=kx+ 求函數(shù)極值的若干方法 的函數(shù)，可令 t= 求函數(shù)極值的若干方法 化為關(guān)于的二次函數(shù)再利用配方法求得其極值。
例7、求函數(shù)y=x 求函數(shù)極值的若干方法 +1+2x（1-x 求函數(shù)極值的若干方法 ）的最大值和最小值
解：∵y的定義域為[-1，1]，故可令x=cosθ（0≤θ≤π），
則 y= 求函數(shù)極值的若干方法
= 求函數(shù)極值的若干方法 （其y=中求函數(shù)極值的若干方法 為銳角，且 求函數(shù)極值的若干方法 ）
∵-1≤sin（2θ+α）≤1，
∴ 求函數(shù)極值的若干方法 ≤y≤ 求函數(shù)極值的若干方法
當sin（ 求函數(shù)極值的若干方法 ） = -1時，求函數(shù)極值的若干方法
故x = 求函數(shù)極值的若干方法
當sin 求函數(shù)極值的若干方法 時，2 求函數(shù)極值的若干方法
故x = 求函數(shù)極值的若干方法
即當x =- 求函數(shù)極值的若干方法 時，求函數(shù)極值的若干方法
當x= 求函數(shù)極值的若干方法 時，求函數(shù)極值的若干方法
此題中抓住了函數(shù)的定義域[-1，1]為條件。從而將無理函數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來得以解決函數(shù)的極值問題。
五、用解析法求極值
形如y=求函數(shù)極值的若干方法 其中（f（x）、g（x）是關(guān)于的二次式，且二次項系數(shù)為1）的函極值，直接用純代數(shù)法非常困難，因為要平方兩次才能去掉根號。但若借助與解析法，將 求函數(shù)極值的若干方法 分別視作平面直角坐標系內(nèi)兩點的距離，利用平面圖形性質(zhì)，便可簡捷求解。
例8、求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的最小值，其中a、b、c均為正數(shù)，
解：在直角坐標系內(nèi)取點C （0，求函數(shù)極值的若干方法 ）、D （c，- 求函數(shù)極值的若干方法 ）、M （x，0） 、B （c，0）
則y = 求函數(shù)極值的若干方法 =∣CM∣+∣MD∣
即為M到C、D兩點的距離之和。
由平面圖形性質(zhì)可知當且僅當C、M、D三點共線時距離之和最短，此時M在Mˊ位置上。
由 △CO Mˊ∽△DBMˊ 得∣OM∣∶∣MˊB∣=∣OC∣∶∣BD∣
即 求函數(shù)極值的若干方法 解之得 x=求函數(shù)極值的若干方法
此時 求函數(shù)極值的若干方法 =∣CD∣= 求函數(shù)極值的若干方法
例9、求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的值域。
分析y= 求函數(shù)極值的若干方法 = 求函數(shù)極值的若干方法
所以 求函數(shù)極值的若干方法 可看作平面直角坐標系內(nèi)的點（x，0）到點求函數(shù)極值的若干方法 與點 求函數(shù)極值的若干方法 的距離之差。
解： 在直角坐標系內(nèi)取點A（- 求函數(shù)極值的若干方法 ，求函數(shù)極值的若干方法 ）、點B（ 求函數(shù)極值的若干方法 ，求函數(shù)極值的若干方法 ）、點M（x，0）
則y= 求函數(shù)極值的若干方法 =∣AM∣-∣BM∣
即為△ABM的兩邊之差，由平面圖形性質(zhì)知：
∣AM∣-∣BM∣＜∣AB∣=∣ 求函數(shù)極值的若干方法 ∣=1
反之∣BM∣-∣AM∣＜∣AB∣= 1
∴∣y∣＜1
∴-1＜ y ＜1
此法一般適用于為兩個二次根式的和、差函數(shù)，且根號內(nèi)為二次函數(shù)式，此時可通過配方將其變型為平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離和與差來計算。這樣既省去了平方計算的麻煩，又使式子具有明顯的幾何意義，從而更方便找出解題方法，將難度較大的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。在解此軸上的點到另兩點的距離和或差，若求和的極值，則當三點共線時有最小值，即為這兩點的距離，若為差，則無極值，此時差的絕對值小于這兩點的距離，從而可求出函數(shù)值域。
例10、求函數(shù)y= 求函數(shù)極值的若干方法 的值域
分析：此題既是分式函數(shù)，又是三角函數(shù)，往往用純代數(shù)法不易達到目的，但如果將其看作是點 （ 求函數(shù)極值的若干方法 ）與點（3，2）所在直線的斜率，就不難解決了。
解：設(shè)xˊ= 求函數(shù)極值的若干方法 ，yˊ=求函數(shù)極值的若干方法 ，則 y= 求函數(shù)極值的若干方法：
即為平面直角坐標系內(nèi)點（ 求函數(shù)極值的若干方法 ）與（3，2）所在直線的斜率，又（xˊ，yˊ）在圓 xˊ 求函數(shù)極值的若干方法 + yˊ 求函數(shù)極值的若干方法 = 1 上，故只要求出點（3，2）與圓上每一點連線的斜率范圍即可。
設(shè)過（3，2）且與圓 xˊ 求函數(shù)極值的若干方法 + yˊ 求函數(shù)極值的若干方法 = 1 相交的直線方程為：
yˊ-2=k （xˊ-3） ，即 kxˊ-yˊ- 3k+2 = 0
由點到直線的距離公式知： 求函數(shù)極值的若干方法 = 1，
即（-3k+2） 求函數(shù)極值的若干方法 =1+k 求函數(shù)極值的若干方法 ，8k 求函數(shù)極值的若干方法 -12k+3 = 0
∴k= 求函數(shù)極值的若干方法
∴當 求函數(shù)極值的若干方法 ≤k≤ 求函數(shù)極值的若干方法 時，直線與圓相交。
即函數(shù)y=求函數(shù)極值的若干方法 的值域為[ 求函數(shù)極值的若干方法 ，求函數(shù)極值的若干方法 ]。
形如f（x） = 求函數(shù)極值的若干方法 函數(shù)的值域，可將其看作平面內(nèi)點（ 求函數(shù)極值的若干方法 ，求函數(shù)極值的若干方法 ），（-b，-d）的斜率來解決 ，而點（求函數(shù)極值的若干方法 ）必在二次曲線 求函數(shù)極值的若干方法 = 1上，再利用點（-b，-d）的直線與曲線相交的斜率取值范圍來解決是一種簡便易行的方法。從上例我們可以看出，上面函數(shù)關(guān)系也可看成是：求三元函數(shù)，多元函數(shù)的最大、最小值問題。
我們已經(jīng)知道求一元函數(shù)極大值、極小值的步驟，對于多元函數(shù)的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面我們給出實際問題中多元函數(shù)的極大值、極小值求解步驟。 如下：
a）：根據(jù)實際問題建立函數(shù)關(guān)系，確定其定義域；
b）：求出駐點；
c）：結(jié)合實際意義判定最大、最小值。
例題：在平面3x+4y-z=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。
解答：a）：先建立函數(shù)關(guān)系，確定定義域
求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方最小的問題。但是P點位于所給的平面上，故z=3x+4y-26。把它代入上式便得到我們所需的函數(shù)關(guān)系：
-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞
b）：求駐點
解得唯一駐點x=3，y=4。由于點P在所給平面上，故可知：
z=-1
c）：結(jié)合實際意義判定最大、最小值在約束條件 3x+4y-z=26 下的最小值 ，一個多元函數(shù)在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。
由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值。而函數(shù)僅有唯一的駐點。所以，平面上與原點距離最短的點為P（3，4，-1）。
的若干方法 。
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