大學(xué)數(shù)學(xué)共軛的教學(xué)探討論文
文章論證了共軛的對(duì)稱性，利用射影幾何里的對(duì)合的概念對(duì)共軛的概念進(jìn)行幾何圖形的直觀解釋，證明了共軛關(guān)系是對(duì)合關(guān)系，對(duì)合關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系及共軛的應(yīng)用。
引言
共軛直徑是解析幾何中比較抽象的概念之一，學(xué)生很難理解直徑的共軛關(guān)系，在教學(xué)中，進(jìn)行直觀解釋也僅限于將表達(dá)式的對(duì)應(yīng)變量對(duì)調(diào)，表達(dá)式不變，這只是一種代數(shù)直觀解釋，現(xiàn)從射影幾何角度來進(jìn)一步進(jìn)行幾何圖形數(shù)學(xué)的直觀解釋。
1 預(yù)備知識(shí)
1.1 一維基本形的射影變換
平面上一維基本形分兩種，即點(diǎn)列和線束。兩個(gè)同類的一維基本形是重疊的是指點(diǎn)列是共底的或線束是共中心的。
重疊并且為射影變換的兩個(gè)一維基本形，有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素，或一個(gè)自對(duì)應(yīng)元素或沒有自對(duì)應(yīng)元素。
若一維基本形的射影變換有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的則稱為雙曲型射影對(duì)變換，有一個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的則稱為拋物型射影對(duì)變換，沒有自對(duì)應(yīng)元素的則稱為橢圓型射影對(duì)變換。
1.2 對(duì)合
在兩個(gè)一維基本形是重疊且為射影變換里有一種特殊情況，如果對(duì)于重疊圖形的任何一個(gè)元素，無論把它看作是屬于第一基本形或第二基本形，它的對(duì)應(yīng)元素總是一樣的。即
有兩個(gè)自對(duì)應(yīng)元素的對(duì)合稱為雙曲型對(duì)合，沒有實(shí)自對(duì)應(yīng)元素的對(duì)合稱為橢圓型對(duì)合。
命題1[2]：雙曲型對(duì)合中的任何一對(duì)對(duì)應(yīng)元素與其兩個(gè)二個(gè)自對(duì)應(yīng)元素成調(diào)合共軛。
1.3 共軛方向、共軛直徑
稱為互為共軛方向，即
定義3[3]：中心曲線的一對(duì)具有相互共軛方向的直徑叫做共軛直徑。
則(1)式化成
這就是一對(duì)共軛直徑的斜率滿足的關(guān)系式。
1.4 分隔
在取中心線束中的任意三條直線，則每條直線都不能隔開其余兩條，故在射影平面上中間這個(gè)概念就失去了本來的意義，所以我們?nèi)≈行木�束中的任意四條直線來定義分隔，它有兩種情況：第一情況是直線偶分隔了直線偶;第二情況是線偶沒有分隔直線偶。
分隔具有射影不變性。若線束是分隔的，用不通過中心的任意直線去截中心線束，則得到的點(diǎn)列也是分隔的，顯然，線束的交比和點(diǎn)列的交比相等且為負(fù)值。
1.5 點(diǎn)列交比、線束交比
共線的四點(diǎn)A、B、C、D，它們的交比值等于兩個(gè)單比的比值，即(AB，CD) = 上(ABC)下(ABD)。
對(duì)偶地線束中任意四條直線的交比值等于兩個(gè)三直線的單比的比值，即(ab，cb) =上(abc)下(abd) 。
命題2[2]：如果線束的四條直線被任何一條直線截于點(diǎn)四點(diǎn)A、B、C、D，則(ab，cd) = (AB，CD)。
1.6 兩條平行直線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)
2 結(jié)論
共軛關(guān)系是對(duì)合關(guān)系，對(duì)合關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系。
2.1 代數(shù)解釋
命題3[2]：兩個(gè)重疊一維基本形成為對(duì)合的充要條件是對(duì)應(yīng)點(diǎn)參數(shù)與滿足以下方程：
一對(duì)共軛直徑的`斜率滿足的關(guān)系式。
即直徑的共軛關(guān)系是對(duì)稱關(guān)系。
2.2幾何解釋
2.2.1 雙曲型對(duì)合的對(duì)稱圖形
①重疊一維點(diǎn)列對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形
在直線上取定點(diǎn)P，對(duì)于直線上任意一點(diǎn)Mi，設(shè)Mi的關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)Mi為Mi的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則點(diǎn)列(Mi)與點(diǎn)列(Mi)是對(duì)合(點(diǎn)P與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn))。
�、谥丿B一維線束對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形
顯然有兩個(gè)自共軛方向。
命題6：證明：重疊一維線束的對(duì)合的幾何圖形是對(duì)稱圖形。
2.2.2 橢圓型對(duì)合的對(duì)稱圖形
橢圓型對(duì)合有兩條共軛虛的自對(duì)應(yīng)直線。在無窮遠(yuǎn)直線上取圓點(diǎn)和，另取固定點(diǎn)，連結(jié)、，則、為自對(duì)應(yīng)直線，則過定點(diǎn)A的相交的對(duì)應(yīng)直線為對(duì)合變換。
3 應(yīng)用
3.1 調(diào)和共軛
點(diǎn)列上四個(gè)點(diǎn)或線束中四直線，若它們的交比值等于-1，即(AB，CD) = -1，或(ab，cd) =-1 ，則稱為調(diào)和共軛。
例1 設(shè)任意四邊形，其兩組對(duì)邊延長后分別相交，且交點(diǎn)的連線與四邊形的一條對(duì)角線平行，求證：另一條對(duì)角線的延長線平分對(duì)邊交點(diǎn)的連線(1978年全國競(jìng)賽題)。
證：根據(jù)題意作圖2。
3.2 對(duì)合
命題7：雙曲型射影變換的兩條自對(duì)應(yīng)直線和任意一對(duì)對(duì)應(yīng)直線的交比是一個(gè)常數(shù)。
對(duì)偶地，上述命題對(duì)于點(diǎn)列也同樣成立。
例2.試求坐標(biāo)為2和3的兩個(gè)自對(duì)應(yīng)點(diǎn)所確定的對(duì)合的方程。
教改項(xiàng)目：數(shù)學(xué)專業(yè)幾何課程體系建設(shè)與教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化
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