數(shù)學(xué)《中位線(xiàn)》教案
中位線(xiàn)
【知識(shí)與技能】
1.經(jīng)歷三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理形成過(guò)程.
2.掌握三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理，并能利用它解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.
3.通過(guò)命題的教學(xué)了解常用的輔助線(xiàn)的作法，并能靈活運(yùn)用它們解題，進(jìn)一步訓(xùn)練說(shuō)理的能力.
【過(guò)程與方法】
通過(guò)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)自主探究和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.
【情感態(tài)度】
進(jìn)一步了解特殊與一般的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)、轉(zhuǎn)化的思想.
【教學(xué)重點(diǎn)】
三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理.
【教學(xué)難點(diǎn)】
三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)定理的應(yīng)用.
一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)
在前面23.3節(jié)中，我們?cè)鉀Q過(guò)如下的問(wèn)題：如圖，△ABC中，DE∥BC,則△ADE∽△ABC.由此可以進(jìn)一步推知，當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E也是AC的中點(diǎn).現(xiàn)在換一個(gè)角度考慮，如果點(diǎn)D、E原來(lái)就是AB與AC的中點(diǎn)，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE與BC之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？
二、思考探究，獲取新知
1.猜想：從畫(huà)出的圖形看，可以猜想：
DE∥BC,且DE= BC.
2.證明：如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，∴ .∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC（如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似）,∴∠ADE=∠ABC, 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例），
∴DE∥BC且DE= BC.
思考：本題還有其他的解法嗎？
已知：如圖所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC.求證：DE∥BC,DE= BC.
【分析】要證DE∥BC,DE= BC,可延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，于是本題就轉(zhuǎn)化為證明DF=BC，DE∥BC,故只要證明四邊形BCFD為平行四邊形.
還可以作如下的輔助線(xiàn).
【歸納結(jié)論】我們把連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)，并且有三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
【教學(xué)說(shuō)明】介紹中位線(xiàn)時(shí)，強(qiáng)調(diào)它與中線(xiàn)的區(qū)別.
例1 求證：三角形的一條中位線(xiàn)與第三邊上的中線(xiàn)互相平分.
已知：如圖，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求證：AE、DF互相平分.
【分析】要證AE、DF互相平分，即要證四邊形ADEF為平行四邊形.
證明：連結(jié)DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,
∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.
∴四邊形ADEF是平行四邊形.
∴AE、DF互相平分.
例2 如圖，在△ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE相交于點(diǎn)G.求證： .
【分析】有兩邊中點(diǎn)易想到連接兩邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線(xiàn).
思考：在例2的圖中取AC的中點(diǎn)F，假設(shè)BF與AD相交于點(diǎn)G′，如圖，那么我們同理可得 ，即兩圖中的G與G′是重合的，由此我們可以得出什么結(jié)論?
歸納：三角形三條邊上的中線(xiàn)交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是三角形的重心，重心與一邊中點(diǎn)的連線(xiàn)的長(zhǎng)是對(duì)應(yīng)中線(xiàn)長(zhǎng)的 .
三、運(yùn)用新知，深化理解
1.如圖，在?ABCD中，有E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，且DE=CF，BE和AF的交點(diǎn)為M，CE和DF的'交點(diǎn)為N.求證：MN∥AD,MN=12AD.
2.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且AC=BD.求證：OM=ON.
【答案】1.解：連結(jié)EF，證四邊形ABFE和四邊形DCFE均為平行四邊形，得FM=AM，F(xiàn)N=DN，∴MN∥AD,MN= AD.
2.解：取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵BG=CG，BE=AE，∴GE= AC，EG∥AC
∴∠ONM=∠GEF，同理GF= BD，
∠OMN=∠GFE，∵AC=BD，
∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE，
∴∠ONM=∠OMN，
∴OM=ON.
【教學(xué)說(shuō)明】引導(dǎo)學(xué)生取BC的中點(diǎn)，構(gòu)造中位線(xiàn).
四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)
1.三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
2.三角形中位線(xiàn)定理的應(yīng)用.
3.三角形重心的性質(zhì).
1.布置作業(yè)：從教材相應(yīng)練習(xí)和“習(xí)題23.4”中選取.
2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課時(shí)作業(yè)”部分.
本課時(shí)從學(xué)過(guò)的知識(shí)入手猜想中位線(xiàn)的性質(zhì)，并通過(guò)動(dòng)手畫(huà)圖、操作，證明猜想，體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，加深對(duì)知識(shí)的理解.在證明的過(guò)程中舉一反三，用多種方法證明三角形中位線(xiàn)定理，通過(guò)具體的實(shí)例分析，提高學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力.
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