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高老總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案
高老總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案
推理與證明
【學(xué)法導(dǎo)航】
了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理;了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn);了解間接證明的一種基本方法--反證法;了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。
解答推理問(wèn)題時(shí)，先明確出是哪種推理形式，顯然歸納、演繹等推理方式在以往的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)，類比推理相對(duì)而言學(xué)生比較為陌生. 所以復(fù)習(xí)類比推理時(shí)應(yīng)抓住兩點(diǎn)：一是找出合理的類比對(duì)象，二是找出類比對(duì)象，再進(jìn)一步找出兩類事物間的相似性或一致性.
解答證明題時(shí)，要注意是采用直接證明還是間接證明。在解決直接證明題時(shí)，綜合法和分析法往往可以結(jié)合起來(lái)使用。綜合法的使用是“由因索果”，分析法證明問(wèn)題是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此使用時(shí)往往聯(lián)合使用。分析法要注意敘述的形式：要證A，只要證明B，B應(yīng)是A成立的充分條件。
復(fù)習(xí)反證法時(shí)，注意：一是“否定結(jié)論”部分，把握住結(jié)論的“反”是什么? 二是“導(dǎo)出矛盾”部分，矛盾有時(shí)是與已知條件矛盾，有時(shí)是與假設(shè)矛盾，而有時(shí)又是與某定義、定理、公理或事實(shí)矛盾，因此要弄明白究竟是與什么矛盾.
對(duì)于 些難于從正面入手的數(shù)學(xué)證明問(wèn)題，解題時(shí)可從問(wèn)題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，從而將問(wèn)題得以解決。因此當(dāng)遇到“否定性”、“唯一性”、“無(wú)限性”、“至多”、“至少”等類型命題時(shí)，宜選用反證法。
【專題綜合】
推理是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程,高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)就是培養(yǎng)和提高學(xué)生的推理能力,因此本部分內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位,是高考的重要內(nèi)容.由于解答高考試題的過(guò)程就是推理的過(guò)程,因此本部分內(nèi)容的考查將會(huì)滲透到每一個(gè)高考題中.在復(fù)習(xí)時(shí),應(yīng)注意理解常用的推理的方法,了解其含義,掌握其過(guò)程以解決具體問(wèn)題.因此2007年、2008年山東卷、廣東卷、海南、寧夏卷沒(méi)有單獨(dú)考查此內(nèi)容也在情理之中。2009年的高考題中只有江蘇卷、福建卷、浙江卷的高考試題中出現(xiàn)了合情推理與演繹推理的試題。但是，今后的高考中考查推理內(nèi)容,最有可能把推理滲透到解答題中考查，因?yàn)榻獯鹋c證明題本身就是一種 合情推理與演繹推理作為一種推理工具是很容易被解答與證明題接受的.
1.與數(shù)列結(jié)合考察推理
例1(09浙江文)設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，則 ， ， ， 成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列 的前 項(xiàng)積為 ，則 ， ， ， 成等比數(shù)列.
答案.
【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問(wèn)題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過(guò)已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力
【解析】對(duì)于等比數(shù)列，通過(guò)類比，有等比數(shù)列 的前 項(xiàng)積為 ，則 ， ， 成等比數(shù)列.
2.與解析幾何集合考察推理
例2(03年上海)已知橢圓具有性質(zhì)：若 是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) 是橢圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線 的斜率都存在時(shí)，則 是與點(diǎn) 位置無(wú)關(guān)的定值，試對(duì)雙曲線 寫(xiě)出具有類似特性的性質(zhì)。
答案: .
3.與立體幾何結(jié)合考察推理
例3在 DEF中有余弦定理： . 拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫(xiě)出斜三棱柱ABC- 的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.
分析 根據(jù)類比猜想得出 .
其中 為側(cè)面為 與 所成的二面角的平面角.
證明： 作斜三棱柱 的直截面DEF，則 為面 與面 所成角，在 中有余弦定理： ，
同乘以 ，得
即
【變式】類比正弦定理：如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，二面角B—AA1—C、C—BB1—A、B—CC1—A所成的二面角分別為 、 、 ，則有
證明：作平面DEF與三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱垂直，分別交側(cè)棱AA1，BB1 ，CC1于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則 = ， ， ，
在 DEF中，根據(jù)正弦定理得 ，即
而 ，且 ，因此 .
例4(2007廣東理)如果一個(gè)凸多面體 棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所有頂點(diǎn)所確定的直線共有 __ 條.這些直線中工有 對(duì)異面直線，則 = 12 ; = .(答案用數(shù)字或 的解析式表示)
4構(gòu)造數(shù)表考察推理
例5(2007湖南理)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表.從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，…，第 次全行的數(shù)都為1的是第 行;第61行中1的個(gè)數(shù)是 32 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………
圖1
5.實(shí)際問(wèn)題
例6(2007年廣東文10).圖3是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖公司在年初分配給A、 B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件.在使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、54、61件,但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行.那么要完成上述調(diào)整,最少的調(diào)動(dòng)件次(n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n)為
A.18 B.17 C.16 D.15
【解析】很多同學(xué)根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)n=16可行,判除A,B選項(xiàng),但對(duì)于C,D選項(xiàng)則難以作出選擇,事實(shí)上,這是一道運(yùn)籌問(wèn)題,需要用函數(shù)的最值加以解決.設(shè) 的件數(shù)為 (規(guī)定:當(dāng) 時(shí),則B調(diào)整了 件給A,下同!), 的件數(shù)為 , 的件數(shù)為 , 的件數(shù)為 ,依題意可得 , , , ,從而 , , ,故調(diào)動(dòng)件次 ,畫(huà)出圖像(或絕對(duì)值的幾何意義)可得最小值為16,故選(C).
【答案】:C
5.與其他章節(jié)知識(shí)結(jié)合考察證明
例7(2008年海南寧夏21)設(shè)函數(shù) ，曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為y=3.
(1)求 的解析式：
(2)證明：函數(shù) 的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心;
(3)證明：曲線 上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.
解：(1) ，
于是 解得 或
因 ，故 .
(2)證明：已知函數(shù) ， 都是奇函數(shù).
所以函數(shù) 也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形.而 .可知，函數(shù) 的圖像按向量 平移，即得到函數(shù) 的圖像，故函數(shù) 的圖像是以點(diǎn) 為中心的中心對(duì)稱圖形.
(3)證明：在曲線上任取一點(diǎn) .
由 知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為
.
令 得 ，切線與直線 交點(diǎn)為 .
令 得 ，切線與直線 交點(diǎn)為 .
直線 與直線 的交點(diǎn)為 .
從而所圍三角形的面積為 .
所以，所圍三角形的面積為定值 .
6.綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題
例8(2009山東卷理)等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 ， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn) ，均在函數(shù) 且 均為常數(shù))的圖像上.
(1)求r的值;
(11)當(dāng)b=2時(shí)，記
證明：對(duì)任意的 ，不等式 成立
解:因?yàn)閷?duì)任意的 ,點(diǎn) ，均在函數(shù) 且 均為常數(shù)的圖像上.所以得 ,當(dāng) 時(shí), ,當(dāng) 時(shí), ,又因?yàn)閧 }為等比數(shù)列,所以 ,公比為 ,
(2)當(dāng)b=2時(shí)， ,
則 ,所以
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 成立.
�、� 當(dāng) 時(shí),左邊= ,右邊= ,因?yàn)?,所以不等式成立.
�、� 假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立,即 成立.則當(dāng) 時(shí),左邊=
所以當(dāng) 時(shí),不等式也成立
由①、②可得不等式恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知 求 的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.
7.創(chuàng)新性問(wèn)題
例9(2007北京理)(本小題共13分)已知集合 ，其中 ，由 中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合： ， .
其中 是有序數(shù)對(duì)，集合 和 中的元素個(gè)數(shù)分別為 和 .
若對(duì)于任意的 ，總有 ，則稱集合 具有性質(zhì) .
(I)檢驗(yàn)集合 與 是否具有性質(zhì) 并對(duì)其中具有性質(zhì) 的集合，寫(xiě)出相應(yīng)的集合 和 ;
(II)對(duì)任何具有性質(zhì) 的集合 ，證明： ;
(III)判斷 和 的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
(I)解：集合 不具有性質(zhì) .
集合 具有性質(zhì) ，其相應(yīng)的集合 和 是 ，
.
(II)證明：首先，由 中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì) 共有 個(gè).
因?yàn)?，所以 ;
又因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 時(shí)， ，所以當(dāng) 時(shí)， .
從而，集合 中元素的個(gè)數(shù)最多為 ，
即 .
(III)解： ，證明如下：
(1)對(duì)于 ，根據(jù)定義， ， ，且 ，從而 .
如果 與 是 的不同元素，那么 與 中至少有一個(gè)不成立，從而 與 中也至少有一個(gè)不成立.
故 與 也是 的不同元素.
可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于 中元素的個(gè)數(shù)，即 ，
(2)對(duì)于 ，根據(jù)定義， ， ，且 ，從而 .如果 與 是 的不同元素，那么 與 中至少有一個(gè)不成立，從而 與 中也不至少有一個(gè)不成立，
故 與 也是 的不同元素.
可見(jiàn)， 中元素的個(gè)數(shù)不多于 中元素的個(gè)數(shù)，即 ，
由(1)(2)可知， .
【專題突破】
1. 觀察下列數(shù)的特點(diǎn)
1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，… 中,第100項(xiàng)是( C )
(A) 10 (B) 13 (C) 14 (D) 100
解析 . 由規(guī)律可得:數(shù)字相同的數(shù)依次個(gè)數(shù)為
1,2,3,4,… n 由 ≤100 n ∈ 得,n=14,所以應(yīng)選(C)
2.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A—BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得” ( C )
(A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2 (B)
(C) (D)AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2
3. 由①正方形的對(duì)角線相等;②平行四邊形的對(duì)角線相等;③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是 ( A )
(A) 正方形的對(duì)角線相等 (B) 平行四邊形的對(duì)角線相等
(C) 正方形是平行四邊形 (D)其它
4.若數(shù)列{ }，(n∈N )是等差數(shù)列,則有數(shù)列b = (n∈N )也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列{C }是等比數(shù)列,且C >0(n∈N ),則有d =______ ______ (n∈N )也是等比數(shù)列。
5.依次有下列等式： ，按此規(guī)律下去，第8個(gè)等式為 8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22= 。
6.在等差數(shù)列 中，若 ，則有等式
成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列 中，若 ，
則有等式 成立.
7.已知：
通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題：
__________________________________________= 并給出( * )式的證明。
一般形式:
證明 左邊 =
=
=
= =
∴原式得證
(將一般形式寫(xiě)成
等均正確。)
例1.通過(guò)計(jì)算可得下列等式：
┅┅
將以上各式分別相加得：
即：
類比上述求法：請(qǐng)你求出 的值..
[解]
┅┅
將以上各式分別相加得：
所以：
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