也談函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計
在函數(shù)概念的教學(xué)中常有學(xué)生問到：為什么要規(guī)定一對多的對應(yīng)不屬于函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系呢？
海克爾（E。Haeckel，1843—1919）生物發(fā)生學(xué)定律告訴我們“個體認(rèn)知的發(fā)生遵循人類認(rèn)知發(fā)展的過程”，就數(shù)學(xué)教育而言，個體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展順序。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家也認(rèn)為個體數(shù)學(xué)理解的發(fā)展遵循數(shù)學(xué)思想的歷史發(fā)展，個體對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過程與該概念的歷史發(fā)展過程相似。
那么我們就先從歷史的長河中來尋找答案吧，看看函數(shù)的概念是如何發(fā)展的。
從函數(shù)概念的歷史發(fā)展過程中，我們基本上可以知道以下幾個事實：
初中數(shù)學(xué)的函數(shù)定義基本上就是十九世紀(jì)最杰出的法國數(shù)學(xué)家柯西在1821年所著的《解析教程》中，給出的定義：“在某些變量間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱為自變量，其他各個變量稱為函數(shù)”。
《北師大版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》八年級上冊是這樣給函數(shù)定義的：一般地，在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應(yīng)地就確定了一個y值，那么我們就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。
《人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》八年級上冊是這樣給函數(shù)定義的：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。
兩者相比較。不難發(fā)現(xiàn)在人教版初中教科書中出現(xiàn)“唯一確定”的概念。而北師大版的教材中則沒有提出。
高中數(shù)學(xué)的函數(shù)定義基本上是維布倫1930給出的'近代函數(shù)定義：“設(shè)集合X、Y，如果X中每一個元素x都有Y中唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么我們就把此對應(yīng)叫做從集合X到集合Y的映射，記作f：X→Y，或y=f（x）”。映射的特殊情況，從數(shù)集到數(shù)集的映射就是狄利克雷的函數(shù)定義；在這個定義中出現(xiàn)了“唯一確定”這一限制性詞語。
北師大版高中數(shù)學(xué)必修一第二章《函數(shù)》定義：給定兩個非空數(shù)集A和B，如果按照某個對應(yīng)關(guān)系f，對于A中的任何一數(shù)x在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）與之對應(yīng)，那么就把這個對應(yīng)f叫做從A到B的一個函數(shù)。通常記作：f：A→B或y=f（x）x∈A。其中，x叫做自變量，y叫做函數(shù)值。
人教版新課A版必修1第一章《集合與函數(shù)概念》中是這樣給函數(shù)定義的：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作=，．其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域（range）。
在多值函數(shù)是函數(shù)的概念下，多值函數(shù)也是需要分拆成若干個單值函數(shù)再進行研究的；在函數(shù)都是單值函數(shù)的概念下，方程確定的隱函數(shù)也仍然會遇到多值的情形，還是需要分拆成單值的情形來研究。多值函數(shù)或者單值函數(shù)這種定義的改變，并沒有改變數(shù)學(xué)問題的實質(zhì)，只是給數(shù)學(xué)的初學(xué)者帶來困惑而已。
我認(rèn)為在初中函數(shù)概念的教學(xué)中，北師大版教材的處理更為合理的，不出現(xiàn)“唯一確定”這樣的概念，更有利于學(xué)生理解。其理由如下，第一、歷史上函數(shù)概念的初期，也沒有“唯一確定”這樣的概念，對初中生講“唯一確定”這個問題，不符合初中生的認(rèn)知規(guī)律。
第二、在函數(shù)概念的教學(xué)中，規(guī)定“一對多”對應(yīng)的不屬于函數(shù)的對應(yīng)，有些類似在二次根式中規(guī)定被開方數(shù)大于等于零，事實上二者卻有很的不同。如果在二次根式中不做“被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)”這樣的規(guī)定，那么就要回答：什么樣的數(shù)的平方是負(fù)數(shù)？等于多少？這樣一系列的問題。為了降低難度，我們暫時不去研究這種情況，因此我們規(guī)定“二次根式中被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)”。而在函數(shù)概念的教學(xué)中是為了什么原因做出“一對多”不是函數(shù)的規(guī)定呢？這樣的規(guī)定有利于學(xué)生理解函數(shù)的概念嗎？我看恰好相反，有了這個規(guī)定學(xué)生反而更糊涂了。至于人教版初中教科書中的那兩道習(xí)題更是有欠考慮了，要做出這兩道題無非是讓學(xué)生死背定義，而這個“唯一確定”的規(guī)定并不涉及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，就是把定義背下來，他又能記住多久呢？教材這樣的處理人為地增加了學(xué)習(xí)的難度。
第三、是否“唯一確定”，并不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題。在早些年出版的教材里，函數(shù)的定義里沒有“唯一”兩個字，因此函數(shù)就有單值函數(shù)與多值函數(shù)的區(qū)分，按那種定義，“一對一”、“多對一”“一對多”的對應(yīng)都屬于函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系。近年出版的教材里，函數(shù)的定義里有“唯一”兩字，因此函數(shù)都是單值的，從這個意義上說，“一對多”的對應(yīng)關(guān)系就不屬于函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系了。
結(jié)論：在初中函數(shù)概念的教學(xué)中，最好是不要出現(xiàn)“唯一確定”的概念，不要人為地增加初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度。
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