數(shù)學教案：反函數(shù)

　　教學目標

　　1.使學生了解反函數(shù)的概念,初步掌握求反函數(shù)的方法.

　　2.通過反函數(shù)概念的學習,培養(yǎng)學生分析問題,解決問題的能力及抽象概括的能力.

　　3.通過反函數(shù)的學習,幫助學生樹立辨證唯物主義的世界觀.

　　教學重點,難點

　　重點是反函數(shù)概念的形成與認識.

　　難點是掌握求反函數(shù)的方法.

　　教學用具

　　投影儀

　　教學方法

　　自主學習與啟發(fā)結(jié)合法

　　教學過程

　　一. 揭示課題

　　今天我們將學習函數(shù)中一個重要的概念----反函數(shù).

　　1.4. 反函數(shù)(板書)

　　(一)反函數(shù)的概念(板書)

　　二.講解新課

　　教師首先提出這樣一個問題:在函數(shù) 中,如果把 當作因變量,把 當作自變量,能否構(gòu)成一個函數(shù)呢?(讓學生思考后回答,要講明理由)可以根據(jù)函數(shù)的定義在 的允許取值范圍內(nèi)的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對應.(還可以讓學生畫出函數(shù)的圖象,從形的角度解釋“任一 對唯一 ”)

　　學生解釋后教師指出不管從哪個角度,它都是一個函數(shù),即 有反函數(shù),而且把這個函數(shù)稱為 的反函數(shù).那么這個反函數(shù)的解析式是什么呢?

　　由學生回答出應為 .教師再提出 它作為函數(shù)是沒有問題的,但不太符合我們的表示習慣,按習慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動之后帶來一個新問題: 和 是同一函數(shù)嗎?

　　由學生討論,并說明理由,要求學生能從函數(shù)三要素的角度去認識,并給出解釋,讓學生真正承認它們是同一函數(shù).并把 叫做 的反函數(shù).繼而再提出: 有反函數(shù)嗎？是哪個函數(shù)?

　　學生很快會意識到 是 的反函數(shù),教師可再引申為 與 是互為反函數(shù)的.然后利用問題再引申:是不是所有的函數(shù)都有反函數(shù)呢?如果有,請舉出例子.在教師啟發(fā)下學生可以舉出象 這樣的函數(shù),若將 當自變量, 當作因變量,在 允許取值范圍內(nèi)一個 可能對兩個 (可畫圖輔助說明,當 時,對應 ),不能構(gòu)成函數(shù),說明此函數(shù)沒有反函數(shù).

　　通過剛才的例子,了解了什么是反函數(shù),把對 的反函數(shù)的研究過程一般化,概括起來就可以得到反函數(shù)的定義,但這個數(shù)學的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關的內(nèi)容.

　　1. 反函數(shù)的定義:(板書)(用投影儀打出反函數(shù)的定義)

　　為了幫助學生理解,還可以把定義中的 換成某個具體簡單的函數(shù)如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個函數(shù),最后改寫為 .給出定義后,再對概念作點深入研究.

　　2.對概念得理解(板書)

　　教師先提出問題:反函數(shù)的“反”字應當是相對原來給出的函數(shù)而言,指的是兩者的關系你能否從函數(shù)三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來說)

　　學生很容易先想到對應法則是“反”過來的,把 與 的位置換位了,教師再追問它們的互換還會帶來什么變化?啟發(fā)學生找出另兩個要素之間的關系.最后得出結(jié)論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的.再把結(jié)論從特殊發(fā)展到一般,概括為:反函數(shù)的三要素是由原來函數(shù)的三要素決定的.給出的函數(shù)確定了,反函數(shù)的三要素就已經(jīng)確定了.簡記為“三定”.

　　(1)“三定”(板書)

　　然后要求學生把剛才的`三定具體化,也就是“反”字的具體體現(xiàn).由學生一一說出反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域,反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域,反函數(shù)的對應法則就是把原來函數(shù)對應法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過程)如圖

　　最后教師進一步明確“反”實際體現(xiàn)為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.

　　(2)“三反”(板書)

　　此時教師可把問題再次引向深入,提出:如果一個函數(shù)存在反函數(shù),應怎樣求這個反函數(shù)呢?下面我給出兩個函數(shù),請同學們根據(jù)自己對概念的理解來求一下它們的反函數(shù).

　　例1. 求 的反函數(shù).(板書)

　　(由學生說求解過程,有錯或不規(guī)范之處,暫時不追究,待例2解完之后再一起講評)

　　解:由 得 , 所求反函數(shù)為 .(板書)

　　例2. 求 , 的反函數(shù).(板書)

　　解:由 得 ,又 得 ,

　　故所求反函數(shù)為 .(板書)

　　求完后教師請同學們作評價,學生之間可以討論,充分暴露表述中得問題,讓學生自行發(fā)現(xiàn),自行解決.最后找代表發(fā)表意見,指出例2中問題,結(jié)果應為 , .

　　教師可先明知故問 ,與 , 有什么不同?讓學生明確指出兩個函數(shù)定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數(shù).再追問 從何而來呢?讓學生能從三定和三反中找出理由,是從原來函數(shù)的值域而來.

　　在此基礎上,教師最后明確要求,由于反函數(shù)的定義域必是原來函數(shù)的值域,而不是從自身解析式出發(fā)尋求滿足的條件,所以求反函數(shù),就必須先求出原來函數(shù)的值域.之后由學生調(diào)整剛才的求解過程.

　　解: 由 得 ,又 得 ,

　　又 的值域是 ,

　　故所求反函數(shù)為 , .

　　(可能有的學生會提出例1中為什么不求原來函數(shù)的值域的問題,此時不妨讓學生去具體算一算,會發(fā)現(xiàn)原來函數(shù)的值域域求出的函數(shù)解析式中所求定義域時一致的,所以使得最后結(jié)果沒有出錯.但教師必須指出結(jié)論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規(guī)范求解過程要求大家一定先求原來函數(shù)的值域,并且在最后所求結(jié)果上注明反函數(shù)的定義域,同時讓學生調(diào)整例的表述,將過程補充完整)

　　最后讓學生一起概括求反函數(shù)的步驟.

　　3.求反函數(shù)的步驟(板書)

　　(1) 反解:

　　(2) 互換

　　(3) 改寫:

　　對以上環(huán)節(jié)教師可稍作解釋,然后提出再通過下面的練習來檢驗是否真正理解了.

　　三.鞏固練習

　　練習:求下列函數(shù)的反函數(shù).

　　(1) (2) .(由兩名學生上黑板寫)

　　解答過程略.

　　教師可針對學生解答中出現(xiàn)的問題,進行講評.(如正負的選取,值域的計算,符號的使用)

　　四.小結(jié)

　　1. 對反函數(shù)概念的認識:

　　2. 求反函數(shù)的基本步驟:

　　五.作業(yè)

　　課本第68頁習題2.4第1題中4,6,8,第2題.

　　六.板書設計

　　2.4反函數(shù) 例1. 練習.

　　一. 反函數(shù)的概念 (1) (2)

　　1. 定義

　　2. 對概念的理解 例2.

　　(1) 三定(2)三反

　　3. 求反函數(shù)的步驟

　　(1)反解(2)互換(3)改寫

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